スロープ

Nov 04, 2023

Scientific Reports volume 12、記事番号: 17037 (2022) この記事を引用

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1 オルトメトリック

メトリクスの詳細

表面の傾斜と温度の間のファセット図は、平衡状態にある (001) 面と (111) 面の間の傾斜面の統計力学に基づいて数値的に計算されます。 隣接するステップ間の量子力学的結合による点接触型のステップ間引力を含む格子モデルが使用されます。 得られたファセット図を、Song と Mochrie が Si(113) に対して提案したステップバンチングの状態図と比較すると、Si(113) の有効ステップ間引力エネルギーは約 123 meV と推定されます。 （１１１）側面を有するファセットマクロステップと（００１）側面を有するファセットマクロステップの平均高さの傾き依存性は、モンテカルロ法を使用して計算される。 ファセット ダイアグラムは、新しい表面配置を設計するためのファセット マクロステップの組み立て/分解を制御するためのガイドとして使用できます。

地球温暖化対策としてエネルギー効率化が急務となっているため、低エネルギー消費で半導体材料を確実に製造する方法を開発することが重要になっています。 特に、SiC や GaN などの III-V および II-VI 化合物半導体は、この目的に適した材料として期待されています 1,2。 しかし、結晶表面上のマクロステップの形成やステップバンチングは、溶融中または溶液成長中のこれらの材料の結晶の品質を低下させます1。 広範な実験研究により、マクロステップの形成を防ぐ方法が研究されてきましたが、マクロステップのない結晶成長を達成することは依然として困難です。 したがって、傾斜面での段差の組立・分解を制御するには基礎的な理論的検討が必要です。

蒸気成長や分子線エピタキシー (MBE) のマクロステップの不安定性については、広範な研究が行われてきました 3,4,5。 しかし、平衡状態におけるマクロステップの不安定性に関する理論的研究はほとんどありません。 Cabrera and Coleman6 および Cabrera7 は、表面自由エネルギー密度 (表面張力) の異方性と傾斜面の形態との関係を研究しました。 彼らは、「タイプ II」の表面張力の異方性形状が傾斜面にマクロステップを引き起こすことを示しました。 しかし、彼らはマクロステップの不安定性の微視的なモデルを開発しませんでした。

Rottman と Wortis8 は、平衡結晶形状 (ECS)、つまり総表面自由エネルギーが最も低い結晶液滴形状のファセット転移を研究しました 8,9,10,11,12。 ファセット遷移とは、温度が上昇するにつれて、ECS 上で縮小するファセットが特定の温度で消失する現象です。 彼らは、2D インターフェイスを形成するために、反境界条件を備えた最近傍 (nn) 結合および次最近傍 (nnn) 結合を備えた 3 次元 (3D) イジング モデルを採用しました。 彼らは、ファセット転移温度がファセット表面の粗面化転移温度 \(T_\text{R}\) と同じであることを確立しました8,13,14。 彼らはまた、nnn結合定数が反強磁性である場合を研究し、低温でECSがファセットエッジ（鋭いファセットエッジ）で一次形状遷移を持つことを示しました（図1a、b、e）。 つまり、表面張力（垂直面積当たりの表面自由エネルギー）の極グラフであるウルフ図は、低温では不連続になります。 図1eに示すように、ECS上の接線面の傾きpは、(001)面ではゼロであり、表面点が右に移動するにつれて傾きは\(p_1\)まで連続的に増加します。 この点がさらに右に移動すると、面の傾きは \(p_1\) から (111) 面の傾きにジャンプします。 彼らは形状の遷移を考慮しましたが、傾斜面の形態に関する詳細は提供していませんでした（図1c、d）。

(a) および (b) それぞれ、ステップ ドロップ ゾーンとステップ ファセット ゾーンの ECS (アンドレーエフの自由エネルギー) の斜視図の図。 細い線: 表面勾配 p ジャンプのないファセット エッジ。 太い線: p ジャンプのあるファセットの鋭いエッジ (一次形状遷移 8、18)。 (c) と (d) 参考文献の結果に基づく平衡状態の傾斜面の側面図。 モンテカルロ法の傾き p は、\(\Delta h = N_\text{step}a\) の \(p=\Delta h/L\) に対応します。 (e) \(\varepsilon _\text{int}/\varepsilon = -0.9\ のステップ液滴ゾーンの \(\langle 001 \rangle\)–\(\langle 111 \rangle\) 面での ECS の断面図) と \(k_\text{B}T/\varepsilon = 0.63\)。 \(\eta\) における表面の傾き p は、 \(\eta\) における接平面の傾きです。 \(p_1\) は共存点における傾斜面の傾きを表します。 \(p_\text{sp}\) は、準安定面のスピノーダル点における面の傾きを表します。 (f) \(\varepsilon _\text{int}\)-T ファセット図 19,22。 赤い三角形は \(T_{f,2}\) の値を示します。 青い四角は \(T_{f,1}\) の値を示します。 ピンクの円は、(001) 表面 \(T_\text{R}^{(001)}\) の粗面化転移温度を示します。 緑色の線は、2D イジング モデルによって計算されたゾーン境界線です。 すべてのシンボルの値は、PWFRG メソッドを使用して計算されました。 QI Bose 固体、QI Bose 液体、および QI Bose ガスという用語の定義については、参考文献 19 を参照してください。 この図は参考文献 19 から引用したものです。

Williams と Bartelt15 は、[11-2] に向かって傾斜した Si(111) 接面上のファセット マクロステップを観察しました。 (111)テラスは(\(7\times 7\))構造を有しており、マクロステップの側面は(\(1\times 1\))構造で形成されている。 彼らは、(\(7\times 7\)) 構造と (\(1\times 1\)) 構造の表面自由エネルギー交差によって引き起こされる 2 つの表面の共存に基づくマクロステップの形成を考えました。 Jeong と Weeks は、表面再構成の有無にかかわらず、ファセット面が面核形成プロセスによって広がることを示しました 16。

私たちの以前の研究17、18では、平衡状態でのステップの組み立て/分解現象を示す格子モデルを提案しました（図1c、d）。 このモデルは、点接触型のステップ-ステップ アトラクションを備えた制限付きソリッド オン ソリッド (RSOS) モデルです (p-RSOS モデル、式 (1))。 ここで「制限される」とは、nn サイト間の高低差が 0、±1 に制限されることを意味します (「顕微鏡モデル」のセクションを参照)。 点接触型のステップ間引力エネルギー \(\varepsilon _\text{int}\) (\(<0\)) は、素ステップ間の量子力学的相互作用として導入されました。 引力エネルギーは、隣接する段差にあるダングリングボンドの電子雲が重なり合って結合状態を形成することによって得られるエネルギーとみなされる。 p-RSOS モデルの (001) 面と (101) 面の間の斜面には点接触型のステップ間引力が存在しないことに注意してください18。 傾斜面上の隣接する段差が同時に同じ敷地を占めることはありません。 したがって、p-RSOS モデルの (001) 面と (101) 面の間の傾斜面にはファセット マクロステップは形成されません。

p-RSOS モデルの重要な特性は、(001) 面と (111) 面の間の傾斜面の低温での不連続な表面張力です 17,18,19,20,21。 この傾斜面の 2 つの遷移点 \(T_{f,1}\) と \(T_{f,2}\) が見つかりました。 \(T

\(T_{f,2}

この論文の目的は、Python で再コード化された積波関数繰り込み群 (PWFRG) 法 27,28,29 を使用して、ステップ液滴ゾーンの p-T ファセット図を取得することです。これは、テンソル ネットワーク 30 法または密度行列繰り込み群 (DMRG) 法 31。 ファセット マクロステップとファセット ネガティブ マクロステップの平均高さの傾き依存性も、モンテ カルロ法を使用して平衡状態で計算され、不均質な構造 (ファセット マクロステップ) がどのように自己組織化されるかを確認します。 さらに、実験観察から効果的なステップ間引力エネルギー \(\varepsilon _\text{int}\) を近似的に推定する方法を提案します。

ステップドロップレットゾーンは、点接触型のステップ-ステップアトラクションを備えたテラス-ステップ-キンク（TSK）モデル32には存在しないことに注意する必要があります。 p-RSOS モデルは、第一原理量子力学計算で使用されるモデルよりも粗粒度のモデルである 33。一方、p-RSOS モデルは、TSK モデルや位相場モデルよりも微細なモデルである 34。 TSK モデルでは、表面粗さに寄与する励起構造、つまり、テラス表面上のアド原子、アドホール、アイランド、ネガティブアイランド（アドホールの集合体）は無関係であると仮定されます。 しかし、最近、そのような励起構造が変動する成長表面に関連していることが判明しました 35。 ステップ液滴ゾーンの出現は、そのような表面粗さに関連する現象の 1 つです。 そこで、表面粗さの影響や段差の集まり方の多様性に着目しました。

Kosterlitz-Thouless (KT) 普遍性クラスに属する 2D 表面粗さ遷移 13 はかなり微妙な現象であるため、平均場計算や準化学計算よりも正確な計算が必要です 36。 したがって、信頼できる転移点を取得するために、PWFRG 法を使用して表面自由エネルギーを計算しました。 PWFRG 法では、ニューラル ネットワークの深層学習で行われるように、次元削減とユニット パディングが繰り返し使用され 29、多数のアトミック変数が少数の「特徴量」に削減されます。

ステップ液滴ゾーンの有限サイズの効果を研究するには、有限サイズの系の表面エントロピーが正確に考慮されるため、モンテカルロ法を採用します。 モンテカルロ シミュレーションから、熱力学現象が系のナノスケール サイズにどのように反映されているかがわかります。 PWFRG の結果をモンテカルロ シミュレーションと比較するために、弾性反発システムなどの実世界のシステムに存在することが知られている長距離のステップ間反発は考慮されていません 37,38,39。 私たちは平衡現象を研究しているため、さまざまな運動効果3、4、5は考慮していません。

p-RSOS モデルの (001) 面の表面エネルギー 17,18 は、次の離散ハミルトニアンで表されます。

ここで、h(n, m) はサイト (n, m) での表面の高さ、\({{\mathscr {N}}}\) は格子点の総数、\(E_\text{surf}\)は平面 (001) 表面上の単位格子あたりの表面エネルギー、\(\varepsilon\) は最近隣 (nn) 相互作用の微視的な棚エネルギーです。 (n, m) に関する総和は、正方格子上のすべてのサイトにわたってとられます。 nn サイト間の高さの差が \(\{ 0, \pm 1\}\) に制限される正方格子上の RSOS 条件が暗黙的に要求されます。 式の右辺の第 4 項と第 5 項は次のようになります。 (1) は点接触型のステップ・ステップ引力を表します。 \(\delta (a,b)\) はクロネッカー デルタ、\(\varepsilon _\text{int}\) は微視的な点接触型のステップ間相互作用エネルギーです。 \(\varepsilon _\text{int}\) が負の場合、ステップ間の相互作用は魅力的になります (スティッキー ステップ)。

p-RSOS モデル (式 1) の微視的エネルギー \(\varepsilon\)、\(\varepsilon _\text{int}\)、および \(E_{\text{surf}}\) は自由エネルギーです。第一原理量子力学計算の観点から。 表面エネルギー \(E_{\text{surf}}\) には、格子の振動と歪みに起因するエントロピーが含まれます33。 \(\varepsilon\) と \(\varepsilon _\text{int}\) は、温度が上昇すると格子振動により減少する可能性があります。 ただし、この作業全体を通じてそれらは一定であると想定されます。

RSOS モデルは粗化遷移を研究するために使用されることに注意してください40、41、42。 変動する界面の非線形方程式 43,44 を研究するために使用される「RSOS モデル」は、粗化遷移を研究するための ASOS モデルに対応します 40。

ステップの化学ポテンシャルを導入し、大分配関数 \(\mathscr {Z}\)45,46,47,48 を計算します。

ここで \(\vec {\Delta h}= (\Delta h_x, \Delta h_y) = (h(n+1,m)-h(n,m),h(n,m+1)-h(n ,m)\) は高さの差を表し、\(\vec {\eta }=(\eta _x,\eta _y)\) はステップの化学ポテンシャルを表し、\(a=1\) は格子定数を表します。 \({\tilde{f}}(\vec {\eta })\) は、グランド分配関数のグランド ポテンシャルとしてアンドレーエフの自由エネルギーを表します。グランド分配関数を計算するには、伝達行列法を使用します。ポテンシャルは伝達行列の最大固有値に基づいて計算され、PWFRG 法が適用されます。 \({\tilde{f}}(\vec {\eta })= \lambda z(-\lambda x , -\lambda y)\)、ここで \(\lambda\) は結晶小滴の体積に関連するラグランジュ乗数、\(\eta _x=-\lambda x\)、および \(\eta _y=- \lambda y\); つまり、\(\vec {\eta }\) の関数としての形状は ECS8 に似ています。

表面の傾きは、温度 T で特定の \(\vec {\eta }\) の下で変動します。表面の傾き \(\vec {p}=(p_x,p_y)\) は、 \((\langle) として計算されます\Delta h_x \rangle 、\langle \Delta h_y \rangle )/a\)。 \(|\vec {p}|\) と \(|\vec {\eta }|\) をそれぞれ p と \(\eta\) とします。 表面自由エネルギー \(f(\vec {p})\) は、 \(f(\vec {p})= {\tilde{f}}(\vec {\eta }) + \vec {\ によって計算されます。 eta } \cdot \vec {p}\)47. 表面張力 \(\gamma (\vec {p})\) は \(f(\vec {p})/\sqrt{1+\vec {p}\cdot \vec {p}}\) によって計算されます。 49.

p-T および \(\varepsilon _\text{int}\)-T ファセット図は、次の手順を使用して計算されます。 (111) 面の場合、投影された x-y 面積あたりの表面自由エネルギーは f(1, 1) で表されます。 次に、(111) 面のアンドレーエフの自由エネルギーは \({\tilde{f}}^{(111)}(\vec {\eta })=f(1,1)-\eta _x-\eta で与えられます。 _y.\) \({\tilde{f}}(\vec {\eta })\)、\(\vec {p}(\vec {\eta })\)、および \({\tilde{f }}^{(111)}(\vec {\eta })\) は、PWFRG メソッドを使用して、各 \(\vec {\eta }\) に対して直接計算されます46,47,48。 与えられた温度 \(T_{f}\) と \(\varepsilon _\text{int}\) に対して、2 つの表面の共存条件から \(\vec {p_1}\) を計算します (図 1e)。

ここで \(\vec {\eta }^*=-\lambda (x^*,y^*)\) は 2 面共存点における \(\vec {\eta }\) です。

図 2 に、PWFRG (テンソル ネットワーク) 法によって計算された p-T ファセット図を示します。 図 2a、b は \(T

PWFRG（テンソルネットワーク）法による計算に基づくp-Tファセット図。 黒塗りの円: ステップの組み立て/分解点 \((T_{f}, p_1)\)。 白抜きのひし形: 温度 \(T_{f}\) の均質表面のスピノーダル点 \((T_{f}, p_{sp})\)。 誤差はデータ マーカーのサイズ以内です。 \(p \rightarrow \sqrt{2}\) と \(p \rightarrow の場合) \(T_{f}\) は \(T_{f,1}\) と \(T_{f,2}\) に収束します0\)、それぞれ。 \(T_{f,1}\le T\) (GMPT I または GMPT II) の場合、傾斜面は均一であり、基本ステップと局所的に結合したステップで構成されます。 \(T \le T_{f,2}\) (ステップファセットゾーン) の場合、傾斜面は (001) 面と (111) 面で構成されます。 \(T_{f,2}

図2aからわかるように、相分離点（黒丸）はほぼ一直線に並んでおり、 \(\varepsilon _\text{int}/\varepsilon = -0.5\) の相分離線を形成しています。 一方、(b) と (c) の \(\varepsilon _\text{int}/\varepsilon = -0.9\) と −1.4 では、相分離線は凹面になっています。 ステップ液滴 I ゾーンでは、相分離点よりも低い温度で、(p, T) の傾斜面は \(p_1\) (\(

\(p_1\) は \(\sqrt{2}\) 付近の \(T_{f,1}\) でジャンプしているように見えます。 このジャンプは、テラスステップキンク (TSK) 特性によって発生すると考えられます。 （１１１）面近傍の傾斜面は、ＲＳＯＳの制約３５により理想的なＴＳＫに近い構造となっている。 この現象については「考察」セクションで改めて説明します。

ステップ液滴ゾーンでは、図1eの点線で示されている準安定表面17、50、51の表面張力を計算できます。 点線の終点。PWFRG 法で計算された傾きが \(\vec {\eta }_\text{sp}\) で \(\sqrt{2}\) ((111) 面) にジャンプします。 、おおよそスピノーダル点が得られます。 スピノーダル点の傾きを \(p_\text{sp}\) で指定します。 \(\vec {\eta }_\text{sp}\) での傾きは \(p_\text{sp}= |\vec {p}(\vec {\eta }_\text{sp})| となります。 \)。

図 2 では、\(p_\text{sp}\) が白抜きの青いひし形で示されています。 与えられた T において、領域 \(p_1

このサブセクションの要約として、次の結論を導き出します。 \(p

Si(113) + Si(114) の状態図は、約 30 年前に Song と Mochrie によって決定されました 52,53。 それにもかかわらず、ステップ間引力エネルギーの値はまだ決定されておらず、私たちの知る限り、 \(\varepsilon _\text{int}\)–T および p–T ファセット図には、次の表面粗さエントロピーが含まれています。現実的なモデルの傾斜面は計算されていません。 結果を適用することで、ステップ間引力エネルギーを近似的に推定できます。 このサブセクションでは、Si(113) + Si(114) の状態図と現在のファセット図を比較することにより、ステップ間引力エネルギーを推定する方法を示します。

Song と Mochrie によって決定された Si(113) + Si(114) の状態図は、本研究のファセット図と同様であることが示されています。 この比較を行うために、\(\varepsilon _\text{int}/\varepsilon\) と \((T_{f,1}-T_{f,2})/T_{f,2}\) をプロットしました。図 3 \(\varepsilon _\text{int}\)–T および p–T 図から。 Si(113) の場合、\(T_{f,2}=1134\)K のステップ ファセット ゾーンの傾斜面は (113) 面と (114) 面で構成されますが、(113) ファセット マクロステップは分解します。 \(T_{f,1} = 1223\)K で。 したがって、\((T_{f,1}-T_{f,2})/T_{f,2} = 0.0785\) となります。 次に、図 3 を使用すると、 \(\varepsilon _\text{int} /\varepsilon = -0.753\) が得られます。 Si(111) の \(\varepsilon = 163\) meV の値と \(({ \bar{1}}{\bar{1}}2)\)54. このように、ステップの組み立て/分解の遷移を観察することで、微視的な有効ステップ間引力エネルギーを近似的に推定できます。

\(\varepsilon _\text{int}/\varepsilon\) と \((T_{f,1}-T_{f,2})/T_{f,2}\) の比較。 黒四角: PWFRG (DMRG) によって計算されたポイント。 実線: \(y=0.244 x^4\)、\(y=(T_{f,1}-T_{f,2})/T_{f,2}\)、\(x=\varepsilon _\text{int}/\バレプシロン\)。

対象材料の表面粗さエントロピーを含む信頼できる \(\varepsilon _\text{int}\)-T および p-T ファセット図がすでに決定されている場合、信頼できる値 \(\varepsilon _\text{ int}\) は、本方法を使用して取得できます。 対象となる材料の \(\varepsilon _\text{int}\)–T または p–T ファセット図が存在しない場合、本研究のファセット図は \(\varepsilon _\text{int}\ の推定に役立ちます) ）。 \(\varepsilon _\text{int}\) の推定値の信頼性については、「考察」セクションで説明します。

有限サイズ効果を含む 2 つの表面が共存する領域内の傾斜面の構造を決定するために、メトロポリス アルゴリズムを使用したモンテカルロ シミュレーションを実行して、ファセット マクロステップの平均高さを計算しました \(\langle n \rangle\)22,25 ,26 (式 4)。 ｐ−ＲＳＯＳモデルにおける（００１）面と（１１１）面との間の傾斜面を考える。 ここで、温度 T、ステップ数 \(N_\text{step}\)、システム サイズ L は固定です (外部パラメータ)。 表面自由エネルギーの計算とは対照的に、表面の傾き p は固定されており、\(a=1\) として \(p= N_\text{step}a/L\) で表されます。 表面構成のエネルギーは式(1)で与えられます。 (1)。 原子は周囲相から結晶表面に捕獲され、結晶表面から周囲相に逃げます。 周囲（気体または溶液）相との平衡を達成するために、結晶内の原子の数は保存されません。 補足情報には、サイトごとの \(4 \times 10^8\) モンテカルロ ステップ (MCS/サイト) での表面の上面図と側面図のスナップショットがいくつか示されています。

\({\tilde{x}}\) 方向と \({\tilde{y}}\) 方向を [110] 方向と \([ {\bar{1}}10 ]\) 方向として導入します。 、 それぞれ。 ここで、\({\tilde{x}}\) は平均ステップ実行方向に垂直であり、\({\tilde{y}}\) は平均ステップ実行方向に沿っています。 \({\tilde{y}}\) の高さの差 \(\Delta h =1\) (または -1) が \(+ に沿って \(n_{{\tilde{x}}}\) に続くとき{\tilde{x}}\) 方向では、マクロステップの高さを \(n_{{\tilde{x}}}({\tilde{y}})\) (または \(- n_{{ \チルダ{x}}}({\チルダ{y}})\))。 次に、平均マクロステップ高さは次の式を使用して取得されます。

ここで、\(N_\text{step}\) は基本ステップの合計数、\(n_\text{step}({\tilde{y}})\) は \({\tilde) で結合されたステップの数です。 {y}}\) を \({\tilde{x}}\) 方向に沿って進みます。 最初の \(2 \times 10^8\) MCS/サイトが無視された後、\(2 \times 10^8\) MCS/サイトにわたる \(\langle n \rangle\) の時間平均を取得します。 モンテカルロ計算方法の詳細は参考文献 22、25 に記載されています。

ステップファセットゾーンについて、図4aは\(\langle n \rangle /L\)のp依存性を示しています。ここで、Lはシステムのサイズです。 傾斜面は(001)面と(111)面で構成されています(図1b、d)。 したがって、\(\langle n \rangle\) は、大きいサイズの制限内では \(N_\text{step}a=pL\) になるはずです。 この図は、 \(\langle n \rangle /L\) の p への線形依存性を確認しています。 システムの有限サイズによりマクロステップのエッジが不鮮明になるため、線の傾きは予想値よりわずかに小さくなります21。 極限 \(p \rightarrow \sqrt{2}\) では、ステップ数は \(N_\text{step,max}-2\) から \(N_\text{step,max}-4\) になります。 (2–4 の負のステップ19)、ここで \(N_\text{step,max}\) は最大ステップ数です。たとえば、\(L=320 \sqrt{2}\) の場合は 640 です。 したがって、図4aの \(p= \sqrt{2}\) に近い \(\langle n \rangle /L\) の値は、有限サイズ効果により線から外れます。

\(\langle n \rangle\) の傾き依存性。 初期設定には単一のマクロステップがあります。 (a) ステップファセットゾーン。 挿入図: 等距離で分離された基本ステップを含む初期構成から得られた結果。 (b) ステップ液滴 I ゾーン。 (c) ステップ液滴 I ゾーンと GMPT-I ゾーン (\({\tilde{T}}= k_\text{B}T/\varepsilon = 0.8\))。 (d) ステップ液滴 II ゾーン。 矢印: (b) \(p_1=0.4633\)、(c) \(p_1=0.3592\)、(d) \(p_1=1.100\)。 (b) ～ (d) では、結果は初期構成から独立しています。 \(p=\デルタ h/L = N_\text{ステップ}a/L\)。 \(a=1\)。 最初の \(2 \times 10^8\)MCS/サイトが破棄された後、平均は \(2 \times 10^8\)MCS/サイトにわたって取得されます。 (a–c) の薄緑色の線は、\({\tilde{T}}=0.4\) における \(\varepsilon _\text{int}=0\) の \(\langle n \rangle\) を示しています (式 7)。 (d) の濃い緑色の線は、\({\tilde{T}}=1.4\) における \(\varepsilon _\text{int}=0\) の \(\langle n \rangle\) です (式 1)。 8)。 (c) のオレンジ色の線は、\({\tilde{T}}=0.8\) における \(\varepsilon _\text{int}=-0.9\) の \(\langle n \rangle\) です (GMPT- I) (式 8)。

非平衡定常状態におけるステップファセットゾーンに関する以前の研究 22,26,55 では、\(|\Delta \mu |< \Delta \mu _{co} のファセットマクロステップの平均高さが次のとおりであることを示しました。ステップファセットゾーンの (L)\) は、初期構成の影響を受けます。 ここで、\(\Delta \mu\) は結晶と周囲相の間のバルク化学差を表し、\(\Delta \mu _{co}(L)\) は 2D 単核と多核間のクロスオーバー ポイントを表します。 -ファセットマクロステップの端で核生成プロセスが行われ、L はシステムの線形サイズです。 \(\Delta \mu _{co}< |\Delta \mu |\) の場合、\(\langle n \rangle\) は初期構成に依存しません。 これは、初期配置から平衡配置に達するまでの緩和時間が、\(|\Delta \mu |< \Delta \mu _{co}\ の場合 \(2\times 10^8\)MCS/site よりも長いことを示しています。 ）。 図 4a は、すべての基本ステップが結合された初期構成で得られた結果を示しています。 図の挿入図では、すべての基本ステップが等距離で分離された構成から開始した結果を示しています。 データは \(\langle n \rangle (p) =2.80 + 8.87 p\) の周りに分散しています。 平均値のサイズ依存性はわずかです。 低温での分離ステップの初期構成の場合、 \(k_\text{B}T/\varepsilon = 0.2\ の場合 \(\langle n \rangle (p) =2.08 + 5.19 p\) という散乱した結果が得られました。 )、\(\varepsilon _\text{int}/\varepsilon = -0.9\)、および \(L=80 \sqrt{2}\)。 したがって、ローカル マクロステップの平均高さは \(k_\text{B}T/\varepsilon = 0.4\) の場合よりも小さくなります。 散乱データの傾きのこの温度依存性は、2D 核生成プロセスなしで表面がどのようにして平衡構造に達するかを示唆しています。 基本ステップ 50、51、56 の圧縮プロセスがこのプロセスの候補です。 このプロセスを明らかにすることは今後の研究課題である。

ステップ液滴ゾーンでは、\(\langle n \rangle\) は傾き \(p_1\) の周りに遷移します。ここで、\(p_1\) は、図の矢印で示されている PWFRG 法によって計算されます。 図 4c は、ステップ液滴 I ゾーンの典型的な例を示しています。 得られたデータは初期設定に依存せず、良好に再現されています。 最初の \(2 \times 10^8\) MCS/サイト (データは無視されます) は、平衡構成を達成するのに十分でした。 \(p

\(\varepsilon _\text{int}/\varepsilon =-0.5\) (図4b)の場合、\(p_1 320 \sqrt{2}\) を除いて転移点は明確に見えません。 \(\varepsilon _\text{int}\) が小さい場合、(111) 側面は容易に分離できます。 \(p

ステップ液滴 II ゾーン (図 4d) では、\(p_1\) が大きくなります (\(p_1=1.100\))。 傾き \(\partial \langle n \rangle /\partial p\) は非常に急であるため、\(\langle n \rangle (\sqrt{2}-p)\) が表示されます。 (001) 表面は粗いですが (図 S2)、 \(\langle n \rangle\) の挙動はステップ液滴 I ゾーンの挙動と似ています。 \(pp_1\) の場合、\(\langle n \rangle\) は、システム サイズが小さい場合よりも大きくなります。

負のマクロステップには、(111) テラスと (001) 側面があります 19。 負のマクロステップの平均高さ \(\langle n_\text{neg}\rangle\) は、 \(\langle n \rangle\) のモンテカルロ結果から \(\langle n \rangle (\sqrt{2) を使用して取得されます。 }-p)/p\)19. \(\langle n_\text{neg}\rangle\) を図 5 に示します。

負のマクロステップの平均高さの傾き依存性 \(\langle n_\text{neg} \rangle =\langle n \rangle (\sqrt{2}-p)/p\)19。 矢印: (b) \(p_1=0.4633\)、(c) \(p_1=0.3592\)、(d) \(p_1=1.100\)。 平均は \(2 \times 10^8\)MCS/サイトにわたって取得されます。 (a) ステップファセットゾーン (\({\tilde{T}}= k_\text{B}T/\varepsilon = 0.4\))。 (b) ステップ液滴 I ゾーン。 (c) ステップ液滴 I ゾーンと GMPT-I ゾーン (\({\tilde{T}}= k_\text{B}T/\varepsilon = 0.8\))。 (d) ステップ液滴 II ゾーンと GMPT-II ゾーン (\({\チルダ{T}}= 2.0\))。 (b) と (c) の薄緑色の線は、\({\tilde{T) における \(\varepsilon _\text{int}=0\) の \(\langle n_\text{neg} \rangle\) です。 }}=0.4\) (式 7)。 (d) の濃い緑色の線は、\({\tilde{T}} =1.4 における \(\varepsilon _\text{int}=0\) の \(\langle n_\text{neg} \rangle\) です。 \) (式 8)。 (c) のオレンジ色の線は、\({\tilde{T}}=0.8 における \(\varepsilon _\text{int}=-0.9\) の \(\langle n_\text{neg} \rangle\) です。 \) (GMPT-I) (式 8)。 (d) のオレンジ色の線は、\({\tilde{T}}=2.0 における \(\varepsilon _\text{int}=-1.4\) の \(\langle n_\text{neg} \rangle\) です。 \) (GMPT-II) (式 11)。

ステップファセットゾーンでは、Lでスケーリングされた \(\langle n_\text{neg}\rangle\) は、pが増加するにつれて線形に減少します（図5a）。 極限 \(p \rightarrow 0\) では、ステップ数は 2 ～ 6 になります。 したがって、図 4a の \(p=0\) に近い \(\langle n \rangle /L\) の値は、有限サイズ効果により線から外れます。

ステップ液滴 I ゾーンの場合、図 5c に典型的な結果を示します。 \(p

\(\varepsilon _\text{int}\) (図5b) が小さい場合、転移点 \(p_1\) は \(L> 320 \sqrt{2}\) を除いて不明瞭になります。 \(p_1 = 0.4633\) は PWFRG 法 (図の矢印) によって計算されます。 \(L= 400 \sqrt{2}\) の場合、転移点は PWFRG 法で計算された値とよく一致します。

2面共存状態では、\(p=N_\text{step}a/L\)の傾斜面が自己組織化して(111)面と\(p_1\程度の傾きを持つ階段面を形成します) ）。 (111) 面は基本ステップのリザーバの役割を果たし、ステップ面を \(p_1\) に保ちます。 \(p_1

\(\langle n_\text{neg} \rangle\) の場合:

ここで、 \(1-x\) は縮小係数であり、x は 0 であると仮定され、 \(L \rightarrow \infty\) となります。 重要な仮定は、すべての基本ステップが分離されており、表面上の \(p_1\) が (111) 表面と共存しているということです。 \(\langle n_\text{neg}^* \rangle\) は、式 (1) の \(\langle n_\text{neg} \rangle\) に対応します。 (6)。 定性的には、Eq. (5) と (6) は、図 3 と図 4 のモンテカルロ結果を示しています。 4と5もそうですね。

しかし、量的には、 \(p_1

\(\langle n_\text{neg}\rangle\) の傾き依存性は、p を \((\sqrt{2}-p)\) で交換した \(\langle n \rangle\) とは対称ではありません。 \(p=0\) と \(p=\sqrt{2}\) の傾斜面構造の唯一の違いは、アド原子、アドホール、アイランド、ネガティブアイランドなどのテラス上の励起構造です (アドホールのクラスター）35． 「pT ファセット図」の項で述べたように、RSOS モデルの (111) 面に十分近い傾斜面の構造は、RSOS の制約により理想的な TSK モデルに近くなります。

理想的な TSK モデルでは、引力の範囲が重要です。 点接触式のステップ・ステップアトラクションの場合、傾斜面の形状はステップを全て組み立てるか、全て分解した状態となります。 これは \(\varepsilon _\text{int}\)–T ファセット図で見ることができます (図 1f)。 \(\varepsilon _\text{int}\) が小さい場合、\(T_{f,1}\) と \(T_{f,2}\) は低くなります。 (001) 表面には表面粗さに寄与する励起構造がほとんどありません。 (001)面付近の傾斜面の構造はTSKモデルに近くなります。 これにより、\(T_{f,1}-T_{f,2}\) が小さくなります。図 3 に示すように、引力が短距離の場合 (点接触型よりも長い場合) IC-RSOS モデルで明示的に示されているように、傾き \(p_1\) を持つ傾斜面は、傾き \(p_2\) (\(<\sqrt{2}\)) を持つ傾斜面に接触する可能性があります47。 このような構造は傾斜した Si(111) 表面で観察されています57。そこでは (7 \(\times\) 7) 表面と (1 \(\times\) 1) 表面が競合します。

実際の材料の場合と同様に、複雑な系の \(\varepsilon _\text{int}\) の近似値を取得する場合、推定値の妥当性は、現在のモデルと材料のモデルがどれだけ近いかによって決まります。 正方格子上の p-RSOS モデルの計算では、本研究で PWFRG 法によって計算された表面自由エネルギーとファセット ダイアグラムは信頼できます。 なお、点接触式ステップステップ吸着のTSKモデルにはステップドロップレットゾーンは現れません。 ファセット ダイアグラムの計算では、表面粗さのエントロピーを考慮することが重要です。 この意味で、結晶構造などの結晶の詳細は、テラス表面の励起構造ほど重要ではないと考えられます。 それでも、より詳細なモデルを使用した \(\varepsilon _\text{int}\)-T および p-T ファセット図の計算は、今後の研究で検討される予定です。

原子的に粗い滑らかな表面が提案されており、原子的に粗い表面は、表面領域の周りの非格子変形を示します。 この構造は分子動力学 (MD) シミュレーションによって発見されました 59。 原子的に粗く、熱力学的に滑らかな表面の例は、超流動液体 He60,61 中の \(T_\text{R}^{(0001)}\) 未満の温度における \(^4\)He(0001) ファセット結晶表面です。 011) Ag\(_2\)S または Ag\(_2\)Se62 の \(T_\text{R}^{(011)}\) の下のファセット面、および \(T_\text の下の) ファセット面真空に囲まれた Pb63,64 の {R}^{(111)}\)。 原子的に粗い表面および熱力学的に粗い表面の例は、\(T_\text{R}\)s よりも高い温度での上記の表面や、液体と蒸気の界面です 65,66。 原子的に滑らかな表面とは、位置 \(\vec {x}\) における表面 \(h(\vec {x})\) の高さが局所的に適切に決定されている表面のことです。 原子的に滑らかな表面および熱力学的に滑らかな表面の例は、\(T_\text{R}\) 未満の温度で格子モデルによって記述される (001) 表面や、真空に囲まれた多くのきれいで平らな半導体表面です。 原子的に滑らかな熱力学的粗面の例としては、\(T_\text{R}\)67 より高い温度で格子モデルによって記述される粗い表面や、\(T_\text{ R}\) テラス面用。

定義上、p-RSOS モデルは格子モデルであるため、モデルの表面は原子的に滑らかです。 原子粗さエントロピーは、本研究では考慮されていません。 ただし、\(\varepsilon _\text{int}\)–T および p–T ファセット図は、p-RSOS モデルがTSK モデルと同様の粗視化モデル。 原子的に粗い表面を持つ系は、格子モデルによって得られる粗化遷移とファセット遷移を使用して処理されてきました。 両方の遷移は KT ユニバーサル クラスに属し、ECS 上のファセット エッジで GMPT ユニバーサル動作を示します23、24。 格子構造の詳細は、\(T_\text{R}\)14 でのガウス曲率ジャンプや \(T

PWFRG 法によって計算されたファセット図は、熱力学的限界 (\(L \rightarrow \infty\)) 内のシステムに関するものであることに注意してください。 有限サイズの効果を調べるために、モンテカルロ シミュレーションを実行しました。 \(a \sim\) 4Å と仮定すると、結果はシステム サイズが 45 ～ 200 nm であることを示しています。 モンテカルロの結果から、系サイズの有限性により、特に 50 nm 未満のサイズでは \(p_1\) 付近の特異点が不鮮明になります。 直径が50nm未満の「結晶滴」は熱力学系とみなすことができません。 直径が小さい液滴では結晶構造が不安定です。 我々の結果と同様に、3D 核形成の初期段階など、50 nm より小さい結晶滴は多段階の形状変形を引き起こします。 結晶液滴を成長させるための多段階の形状変形は、レナード・ジョーンズ系 72 および Pt 系 73 で MD シミュレーションによって観察されています。

我々の以前の研究では、p-RSOS モデルが非平衡系に適用されました。 ジッピング現象 50 とピンニング現象 51,56 が見つかりました。 \(p=0.53\) の傾きで、ファセットマクロステップ 22、25、26 と、原子粗面と熱力学的粗面の間のファセット粗面 55 の分解/集合が観察されました。 RSOS モデル (\(\varepsilon _\text{int}=0\)) における表面高さの標準偏差である表面幅の傾き依存性から、(001) 付近の粗さ指数は\(\Delta \mu\)35 が大きい場合は (111) 付近です。 \(\langle n \rangle\) と非平衡条件下での表面幅の傾き依存性は、今後の研究課題となります。

図 2 に示すように、PWFRG (テンソル ネットワーク) 法を使用して p-T ファセット ダイアグラムを計算しました。また、ファセット マクロステップ \(\langle n \rangle\) とファセット ネガティブ マクロステップ \(\langle n_\ の平均高さも計算しました) text{neg} \rangle\) を使用して、図 3 と図 4 に示すモンテカルロ法を使用します。 これらの結果から、以下の結論が得られた。

\(p

定性的には、ファセットマクロステップは、(1) ステップ間引力エネルギーの絶対値が大きい、(2) 低温、(3) 傾斜面の傾きが大きい、(4) 系サイズが大きい、という条件下で形成される傾向があります。 。

指定された T および \(L \rightarrow \infty\) の範囲内の \(p_1(T)

Si(113) + Si(114) 表面の場合、ファセット図の結果を適用します。 図 2 と 3 から、有効ステップ間引力エネルギー \(\varepsilon _\text{int}\) は \(\varepsilon _\text{int}= -123\) meV と概算されました。

\(\varepsilon _\text{int}=0\) の場合、\({\tilde{T}}=k_\text{B}T/\varepsilon =0.4\) および \(L=80 \sqrt{2 }\)、式 \(\langle n \rangle = s_1(p)/(\sqrt{2}-p)\) および \(\langle n_\text{neg} \rangle = s_1( p)/p\) が成り立ち、\(s_1(p)\) は次の式で与えられます35

図および図では、線は薄緑色で示されています。 4 および 5a ～ c​​。 式の拡張形式。 (7) は \(s_2(p)\) です

\(k_\text{B}T/\varepsilon =1.4\) における \(\varepsilon _\text{int}=0\) の場合、次のようになります。

線式 (8) を式で表すと、 (9) は図 1 と 2 では濃い緑色で示されています。 4日と5日。 図のオレンジ色の線。 4 と 5c は、GMPT-I の線を \(\varepsilon _\text{int}/\varepsilon =-0.9\) で表し、\(k_\text{B}T/\varepsilon =0.8\) で \( s_2(p)\)、ここで

図 5d のオレンジ色の線は、\(\varepsilon _\text{int}/\varepsilon =-1.4\) および \(k_\text{B}T/\varepsilon =2.0\ の GMPT-II の線を表します。 ) \(s_2(p)\) を使用します。ここで、

現在の研究中に使用および/または分析されたデータセットは、合理的な要求に応じて責任著者から入手できます。

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著者らは、ご支援と励ましを賜りました越川哲也教授と神川裕也先生に感謝の意を表します。 著者の 1 人 (NA) は、日本学術振興会 (JSPS) の科研費 (JP22K03487) の支援を受けました。 本研究の一部は、九州大学応用力学研究所共同研究プログラム（2021 S3-5、2022S3-CD-1）の支援を受けました。

大阪電気通信大学工学部〒572-8530 大阪府寝屋川市初町

Noriko Akutsu

〒560-0043 大阪府豊中市待兼山町 大阪大学大学院理学研究科物理学専攻

Yasuhiro Akutsu

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NA は PWFRG とモンテカルロ計算を考案、実行し、結果を分析しました。 YA は Python を使用して PWFRG プログラムを再コーディングしました。

Correspondence to Noriko Akutsu.

著者らは競合する利害関係を宣言していません。

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転載と許可

阿久津直樹、阿久津裕也、平衡時のマクロステップの傾きと温度のファセット図。 Sci Rep 12、17037 (2022)。 https://doi.org/10.1038/s41598-022-21309-x

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受信日: 2022 年 5 月 17 日

受理日: 2022 年 9 月 26 日

公開日: 2022 年 10 月 11 日

DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-022-21309-x

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